Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，沿對角線將折起，使得點在平面上的射影恰好落在邊上.

（1）求證：平面平面；

（2）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】試題分析：（1）先證明. 結合，得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）以點為原點，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可.

試題解析：（1）設點在平面上的射影為點，連接

則平面，所以.

因為四邊形是矩形，所以，所以平面，

所以.

又，所以平面，而平面，

所以平面平面.

（2）方法1：在矩形中，過點作的垂線，垂足為，連結.

因為平面 ，又DM∩DE=D

所以平面 ，

所以為二面角的平面角.

設，則.

在中，易求出， .

在中， ，

所以.

方法2：以點為原點，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

設，則，所以， .

由（I）知，又，所以°，°，那么， ， ，

所以，所以， .

設平面的一個法向量為，則即

取，則， ，所以.

因為平面的一個法向量為，

所以.

所以求二面角的余弦值為.