Question

如圖，A村在B地正北

3

km處，C村在B地正東4km處，已知弧形公路PQ上任一點到B，C距離之和為8km，現要在公路旁建造一個供電所M分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電．
（1）試指出公路PQ所在曲線的類型，并說明理由；
（2）要使得所用電線最短，供電所M應建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離．

Answer 1

分析：（1）根據題意得|MB|+|MC|=8（8＞|BC|=4），結合橢圓的定義得出M在以B，C為焦點，長軸長為8的橢圓上；
（2）建立如圖所示的坐標系，則B（-2，0），C（2，0），A(-2，

3

)，從而得出橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，作MN⊥l于N，則|AM|+2|MC|=|AM|+2•

1

2

|MN|=|AM|+|MN|，由平面幾何知識知，當直線MN通過A時，|AM|+|MN|最小從而解決問題．

解答：解：（1）∵|MB|+|MC|=8（8＞|BC|=4），
∴M在以B，C為焦點，長軸長為8的橢圓上；
（2）建立如圖所示的坐標系，
則B（-2，0），C（2，0），A(-2，

3

)，
求得橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
其離心率e=

1

2

，右準線為l：x=8．
作MN⊥l于N，則|AM|+2|MC|=|AM|+2•

1

2

|MN|=|AM|+|MN|，
由平面幾何知識知，當直線MN通過A時，|AM|+|MN|最小為|AN|，此時M的縱坐標為yM=yA=

3

，
∴M的橫坐標為xM=

[1-( 3 )2/12]×16

=2

3

．
故得M在A正東且距A為（2

3

+2）km處．

點評：考查圓錐曲線的實際背景及作用、考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及會用橢圓的定義的方法來求函數的最小值的能力．