Question

【題目】設橢圓，其長軸長是短軸長的倍，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點是橢圓上橫坐標大于的動點，點在軸上，圓內切于，試判斷點在何位置時的長度最小，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的橫坐標為時，的長度最小.見解析.

【解析】

（1）根據條件列方程組，解得；

（2）先設，，根據點斜式得直線的方程，再根據直線與圓相切列等量關系得，類似可得，轉化為是方程的兩個根，利用韋達定理解得，根據點滿足橢圓方程，代入化簡得，最后根據范圍以及函數單調性求最值，即得結果.

(1)由已知，

因為過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為，，

解得，故所求橢圓方程為.

(2)設，.

不妨設，則直線的方程為，即，

又圓心到直線的距離為，即，

化簡得同理，，

是方程的兩個根，

，則，

是橢圓上的點，∴，.

令，令，則，

，

當時，取到最小值，此時，即點的橫坐標為時，的長度最小.