Question

【題目】如圖，在多面體中，底面是正方形，梯形底面，且．

（Ⅰ）證明平面平面；

（Ⅱ）平面將多面體分成兩部分，求兩部分的體積比．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，可得，，即可得平面，從而證明平面平面；

（Ⅱ）作于，過作于，作，．

利用多面體的體積，求得多面體的體積，進而求得，得到答案．

（Ⅰ）由題意，多面體的底面是正方形，可得，

又由梯形底面，梯形底面，

平面，所以平面，

因為平面，所以，

因為梯形中，，

取的中點，連接，所以，所以，

又因為，所以平面，

又由平面，所以平面平面．

（Ⅱ）如圖所示，作于，過作于，作，．

∵梯形底面，且．

∴面，面，

在中，由可得，

令，

則，，

多面體的體積為：．

由（1）及對稱性可得平面，

∵，，∴到面的距離等于到面的距離的一半，

即到面的距離等于，

故．

∴平面將多面體分成兩部分，兩部分的體積比為．