Question

在△ABC中，設命題p：

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

，命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的（　　）

• A、充要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、即不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先當p成立時，利用正弦定理把等式中的邊轉化成角的正弦，化簡整理求得A=B=C判斷出△ABC是等邊三角形．推斷出p是q的充分條件；反之利用正弦定理可分別求得

a

sinB

=2R，

b

sinC

=2R，

c

sinA

=2R，三者相等，進而可推斷出p是q的必要條件，最后綜合可得答案．

解答：解：

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

，即

2RsinA

sinB

=

2RsinB

sinC

，sinAsinC=sin2B①；

2RsinB

sinC

=

2RsinC

sinA

，sinAsinB=sin2c②，
①-②，得（sinC-sinB）（sinA+sinB+sinC）=0，則sinC=sinA，
∴C=A．同理得C=B，
∴A=B=C，則△ABC是等邊三角形．
當A=B=C時，

a

sinB

=

2RsinA

sinB

=2R，

b

sinC

=

2RsinB

sinC

=2R，

c

sinA

=

2RsinC

sinA

=2R
∴

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

成立，
∴p命題是q命題的充分必要條件．
故選A

點評：本題主要考查了正弦定理的運用，充分條件，必要條件和充分必要的條件的判定．考查了學生分析問題和推理的能力．