Question

【題目】如圖，某市管轄的海域內有一圓形離岸小島，半徑為1公里，小島中心O到岸邊AM的最近距離OA為2公里.該市規劃開發小島為旅游景區，擬在圓形小島區域邊界上某點B處新建一個浴場，在海岸上某點C處新建一家五星級酒店，在A處新建一個碼頭，且使得AB與AC滿足垂直且相等，為方便游客，再建一條跨海高速通道OC連接酒店和小島，設.

（1）設，試將表示成的函數；

（2）若OC越長，景區的輻射功能越強，問當為何值時OC最長，并求出該最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由正弦定理可得與的三角函數的關系；

（2）由（1）得，的值，又有，所以由余弦定理可得的表達式，再由三角函數的有界性求出的最大值．

（1）在三角形中，由正弦定理：，

即，而，，所以，

由題意可得由余弦定理可得

，

所以，所以，

所以；

（2）∵，

∴

所以的最大值為．