Question

【題目】某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成，其中所在的拋物線以為頂點、開口向下，所在的拋物線以為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為軸，過山頂（點）的鉛垂線為軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式，所在拋物線的解析式為

（1）求值，并寫出山坡線的函數解析式；

（2）在山坡上的700米高度（點）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點處，（米），假設索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；

（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？

Answer 1

【答案】（1）

（2）米 （3）第一級臺階的長度為厘米，第二級臺階的長度為厘米，第三級臺階的長度為厘米，這種臺階不能從山頂一直鋪到山腳.

【解析】

（1）將點點B（4,4）分別代入，求出即可求得函數的解析式；

（2）由已知有索道在上方時，懸空高度

利用配方法可得=，再求最大值即可；

（3）由（1）得，在山坡線上，，，

取，分別求出，

再運算可得各級臺階的長度，再取點，又取，

運算可得，即這種臺階不能一直鋪到山腳，得解.

解：（1）將點B（4,4）分別代入，

解得，

故；

（2）由圖可知：，由圖觀察可得：只有當索道在上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值，

索道在上方時，懸空高度==，

當時，，

故索道的最大懸空高度為米；

(3)在山坡線上，，，

①令得令，得，

所以第一級臺階的長度為（百米）（厘米），

同理，令得

所以第一級臺階的長度為（百米）（厘米），

所以第二級臺階的長度為（百米）（厘米），

所以第三級臺階的長度為（百米）（厘米），

②取點，又取，

則，

因為，

故這種臺階不能從山頂一直鋪到點，從而就不能一直鋪到山腳.