【題目】某種水箱用的“浮球”是由兩個相同半球和一個圓柱筒組成，它的軸截面如圖所示，已知半球的直徑是
，圓柱筒高
，為增強該“浮球”的牢固性，給“浮球”內置一“雙蝶形”防壓卡，防壓卡由金屬材料桿
,
,
,
,
,
及
焊接而成，其中
,
分別是圓柱上下底面的圓心，
，
，
，
均在“浮球”的內壁上，AC，BD通過“浮球”中心
，且
、
均與圓柱的底面垂直．
（1）設與圓柱底面所成的角為
，試用表示出防壓卡中四邊形
的面積
，并寫出的取值范圍；
（2）研究表明，四邊形的面積越大，“浮球”防壓性越強，求四邊形面積取最大值時，點到圓柱上底面的距離
．
【答案】（1）
，其中
的取值范圍是
（2）四邊形
面積取最大值時，點
到圓柱上底面的距離為
.
【解析】
（1）先證明
，又因為
，則四邊形是梯形，用
與圓柱底面所成的角來表示梯形的上底、下底和高，根據梯形面積公式即可求得四邊形面積；
（２）由（1）得四邊形面積的解析式
，對函數求導，判斷單調性，求出極值點，由此得出點到圓柱上底面的距離
.
解:（1）因為
分別是圓柱上、下底面的圓心,所以
與圓柱的底面垂直；
因為
與圓柱的底面垂直,所以；
在梯形中,
,
,
設梯形的高
；
所以梯形的面積為
其中的取值范圍是；
（2）由（1）得,
,
令
,解得
或
（不合題意,舍去）；
又
,所以
；
列表如下；
所以當時, 取得極大值,即是最大值,此時
；
所以四邊形面積取最大值時,點到圓柱上底面的距離為
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下命題：（1）已知三個不同的平面
，
，
，若
，
，則
；（2）若直線
，
與平面所成角都是
，則這兩條直線平行；（3）若直線，與平面所成角都是，則這兩條直線不可能垂直；（4）設直線
與平面相交但不垂直，則在平面內有且只有一條直線與直線垂直.錯誤的個數是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種.
方案一：每滿100元減20元；
方案二：滿100元可抽獎一次.具體規則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽取），所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）
紅球個數 | 3 | 2 | 1 | 0 |
實際付款 | 7折 | 8折 | 9折 | 原價 |
（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優惠的概率；
（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位運動員一起參加賽前培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：86 85 79 86 84 84 85 91
（Ⅰ）請你運用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）若用甲8次成績中高于85分的頻率估計概率，對甲同學在今后的3次測試成績進行預測，記這3次成績中高于85分的次數為
，求的分布列及數學期望
；
（Ⅲ）現要從中選派一人參加正式比賽，依據所抽取的兩組數據分析，你認為選派哪位選手參加較為合適？并說明理由．
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