Question

設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）若首項a₁=

3

2

，公差d=1，滿足S_k²=（S_k）²的正整數k=

4

；
（2）對于一切正整數k都有S_k²=（S_k）²成立的所有的無窮等差數列是

a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1

．

Answer 1

分析：（1）由首項a₁，公差d的值，利用等差數列的求和公式分別表示出S_k²與S_k，代入S_k²=（S_k）²中化簡后，得到關于k的方程，根據k為正整數，求出方程的解即可得到滿足題意k的值；
（2）設無窮等差數列{a_n}的公差為d，取k=1和k=2，根據S_k²=（S_k）²列出方程組，利用等差數列的通項公式及求和公式變形后，得到關于a₁與d的方程組，分別記作①和②，由①解得a₁的值為0或1，分兩種情況考慮：（i）當a₁=0時，代入②求出d的值為0或6，經檢驗得到d=6不合題意，舍去，故d=0滿足題意；當a₁=1時，代入②求出d的值為0或2，經檢驗都滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的無窮等差數列．

解答：解：（1）∵首項a₁=

3

2

，公差d=1．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

3n

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

n²+n，
由S_k²=（S_k）²得：

1

2

（k²）²+k²=（

1

2

k²+k）²，
即

1

4

k⁴-k³=0，
∵k是正整數，∴k=4；…（5分）
（Ⅱ）設無窮等差數列{a_n}的公差為d，
則在S_k²=（S_k）²中分別取k=1，和k=2得：

S1=(S1)2 S4=(S2)2

，即

a1=a12① 4a1+6d=(2a1+d)2②

，
由①得：a₁=0或a₁=1，
（i）當a₁=0時，代入②得：d=0或d=6，
若a₁=0，d=0，則本題成立；
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知：S₉≠（S₃）²，故所得數列不符合題意；
（ii）當a₁=1時，代入②得4+6d=（2+d）²，解得：d=0或d=2，
若a=1，d=0則a_n=1，S_n=n，從而S_k²=（S_k）²成立；
若a₁=1，d=2，則a_n=2n-1，S_n=n²，從而S_k²=（S_k）²成立，
綜上所述，只有3個滿足條件的無窮等差數列，分別為a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1．
故答案為：（1）4；（2）a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1

點評：本題考查等差數列的性質，等差數列的前n項和公式，以及等差數列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．