Question

如圖，橢圓C：x²+3y²=3b²（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|=

3

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

（1）由x²+3y²=3b² 得

x2

3b2

+

y2

b2

=1，
所以e=

c

a

=

3b2-b2

3b2

=

6

3

；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為（

3

2

，

3

2

），此時S=

1

2

•

3

2

•

3

=

3

4

；
如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x²+3（kx+m） ²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，又△=36k²m²-4（1+3k²） （3m²-3）＞0，
所以x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，
所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

12(1+3k2-m2)

(1+3k2)2

，①
由|AB|=

1+k2

•|x1-x2|及|AB|=

3

得（x₁-x₂）²=

3

1+k2

，②
結合①，②得m²=（1+3k²）-

(1+3k2)2

4(1+k2)

．
又原點O到直線AB的距離為

|m|

1+k2

，
所以S=

1

2

•

|m|

1+k2

•

3

，
因此S2=

3

4

•

m2

1+k2

=

3

16

（

1+3k2

1+k2

-2）²+

3

4

≤

3

4

，
故S≤

3

2

，當且僅當

1+3k2

1+k2

=2，即k=±1時上式取等號．
又

3

2

＞

3

4

，故S_max=

3

2

．