Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的離心率為，直線：交橢圓于，兩點，，且點在橢圓上，當時，.

（1）求橢圓方程；

（2）試探究四邊形的面積是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據點差法得，解得M坐標，代入橢圓方程，與離心率聯立方程組解得（2）聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理與弦長公式、面積公式得四邊形的面積.

解：（1）由，，故橢圓方程可化為，

設，，

則，，

兩式相減整理得，

當時，，

解得，

將與聯立，

解得中點坐標為，

故代入橢圓方程，

整理得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）設中點為，，，

把代入橢圓，

整理得，

，，，

所以，.

設，

則，，

代入橢圓，得，

.

①當時，設交軸于點，則.

.

②當時，的面積為，

故面積為定值.

因為，

所以四邊形面積為定值3.