Question

（2008•湖北模擬）已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區間[-1，4]上的最大值是12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解關于x的不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1  (a＜0)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據f（x）＜0的解集是（0，5）設f（x）=Ax（x-5）（A＞0），再結合在區間[-1，4]上的最大值是12求出A．即可得到結論；
（Ⅱ）先把不等式轉化

ax+5

2x2-10x

＞0；進而得到x（x-5）（ax+5）＞0；再通過討論幾個根的大小即可得到不等式的解集．

解答：解（I）∵f（x）是二次函數，且f（x）＜0的解集是（0，5）
∴可設f（x）=Ax（x-5）（A＞0），（2分）
∴f（x）的對稱軸為x=

5

2

且開口向上．
∴f（x）在區間[-1，4]上的最大值是f（-1）=6A=12．∴A=2．
∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．（4分）
（Ⅱ）由已知有

ax+5

2x2-10x

＞0．
∴x（x-5）（ax+5）＞0．
又a＜0，∴x(x-5)(x+

5

a

)＜0．（6分）
（i）若-1＜a＜0，則5＜-

5

a

，∴x＜0或5＜x＜-

5

a

．（8分）
（ii）若a=-1，則x＜0．（9分）
（iii）若a＜-1，則-

5

a

＜5，
∴x＜0或-

5

a

＜x＜5．（11分）
綜上知：
當-1＜a＜0時，原不等式的解集為{x|x＜0或5＜x＜-

5

a

}；
當a=-1時，原不等式的解集為{x|x＜0}；
當a＜-1時，原不等式的解集為{x|x＜0或-

5

a

＜x＜5}．（12分）

點評：本題考查不等式的解法，考查轉化思想，分類討論思想，是基礎題．一元二次不等式的解集的區間端點值為對應方程的根．