Question

【題目】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，，分別是，的中點.

（Ⅰ）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并加以證明；

（Ⅱ）設，求二面角大小的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平面，證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）證出平面，由線面平行的性質定理可證出，再由線面平行的判定定理即可求解.

（Ⅱ）法一：證出是二面角的平面角，，根據的范圍即可求解.

法二：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的數量積即可求解.

（Ⅰ）證明如下：

∵，平面，平面，

∴平面.

又平面，平面與平面的交線為，

∴.

而平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）解法一：設直線與圓的另一個交點為，連結，.

由（Ⅰ）知，，而，∴.

∵平面，∴.

而，∴平面，

又∵平面，∴，

∴是二面角的平面角.

.

注意到，∴，∴.

∵，∴，

即二面角的取值范圍是.

解法二：由題意，，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

設，，則，，，

，.

設平面的法向量為，

則由得，取得.

易知平面的法向量，

設二面角的大小為，易知為銳角，

，

∴，

即二面角的取值范圍是.