Question

已知a＞0，函數f（x）=ax²-x，g（x）=ln（ax）
（1）若直線y=kx-1與函數f（x）、g（x）相切于同一點，求實數a，k的值；
（2）是否存在實數a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求出實數a的取值集合，不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）設g（x）的切點（x₀，ln（ax₀）），則g′（x₀）=

1

x0

=k=f′（x₀），及g（x₀）=kx₀-1可求得答案；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-ln（ax），則問題等價于h（x）_min≥0，h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，設p（x）=0有兩不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用導數可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可對h（x₂）進行變形，再構造函數，利用導數可判斷h（x₂）≤0，由此刻求得x₂=1，進而求得a值；

解答：解（1）設g（x）的切點（x₀，ln（ax₀）），g′（x₀）=

1

x0

=k，
∴g（x₀）=ln（ax₀）=kx₀-1=0，∴ax₀=1，
設f（x）切點（x₀，f（x₀）），f′（x₀）=2ax₀-1=k=1，∴a=x₀=1，
∴a=k=1；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有兩不等根x₁，x₂，x1x2=-

1

2a

＜0，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增，
所以h（x₂）=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立，
因為p（x₂）=2ax22-x2-1=0，所以ax2=

1+x2

2x2

，
所以h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，且x2=

1+ 1+8a

4a

=

2

1+8a -1

，
令k（x）=

1-x

2

-ln

1+x

2x

=

1-x

2

+ln2x-ln(1+x)，
k′（x）=-

(x-1)(x+2)

2x(x+1)

，所以k（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，所以x₂=1代入ax2=

1+x2

2x2

，a=1，
所以a∈{1}．

點評：本題考查導數的幾何意義、閉區間上函數的最值、函數恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，根據問題恰當構造函數是解決該題目的關鍵，要認真領會．