Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，是上一點(diǎn)，，現(xiàn)沿將折起到的位置，并使平面，點(diǎn)在邊上，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)及三角形的中位線定理得，再根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量即可求出二面角的大小.

解：（1）連接交于點(diǎn)，連接，

由已知可得四邊形是矩形，

為的中點(diǎn)，

又，為的中點(diǎn)，

，

平面，平面，

平面.

（2）由（1）及平面可知兩兩相互垂直，故以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

易知平面的一個(gè)法向量為，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則由

得

令，解得.

，

由圖可知二面角為銳二面角，

二面角的大小為.