Question

【題目】已知函數f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然對數的底數，實數a是常數．

(1)設a＝e，求函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)討論函數f(x)的單調性．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）答案見解析．

【解析】

（1）求函數f(x)的導數，可寫出對應切線方程

(2) 對函數f(x)的導數值的正負分類，討論單調性。

(1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，

∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.

∴當a＝e時，函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－1.

(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.

當a≤0時，f′(x)＞0，故f(x)在上單調遞增；

當a＞0時，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，

∴當x＜ln a時，f′(x)＜ =0，當x＞ln a時，f′(x)＞ =0，

∴f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．

綜上，當a≤0時，f(x)在上單調遞增；

當a＞0時，∴f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．