Question

下面有四個命題：
（1）各個側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；
（2）三條側棱都相等的棱錐是正棱錐；
（3）底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；
（4）頂點在底面上的射影是底面多邊形的內心，又是外心的棱錐必是正棱錐．
其中，正確命題的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據正棱錐的結構特征，底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面多邊形的中心，依次分析4個命題：對于（1），存在反例，可得（1）錯誤，對于（2）不符合底面必須是正三角形，也錯誤；對于（3）不符合三條側棱長相等，錯誤，對于（4），可得該棱錐的底面多邊形的底面為正多邊形，易得頂點在底面上的射影是底面多邊形的中心，符合棱錐的定義，故（4）正確，綜合可得答案．

解答：解：根據題意，結合正棱錐的結構特征，依次分析4個命題可得：
對于（1）、如圖：三棱錐A-BCD中，AB=AC=b，AD=CD=BC=BD=a，其每個側面是等腰三角形，但不是正三棱錐，故（1）錯誤；
對于（2）、對于正三棱錐，底面必須是正三角形，故（2）錯誤；
對于（3）、對于正三棱錐，三條側棱長必須相等，故（3）錯誤，
對于（4）、該棱錐的底面多邊形的內心與外心重合，則其底面為正多邊形，則其內心（外心）為底面多邊形的中心，則頂點在底面上的射影是底面多邊形的中心，符合棱錐的定義，故（4）正確．
只有一個命題正確；
故選A．

點評：本題考查命題真假的判斷、涉及三棱錐的結構特征，解題時要認真審題，熟練掌握三棱錐的結構特征是解題的關鍵．