Question

【題目】設 為實數，且,

(I)求方程的解；

(II)若滿足，求證：①②；

(III)在（2）的條件下，求證：由關系式所得到的關于的方程存在，使

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析 .

【解析】

(I)由f（x）=1，得lnx=±1，即可求方程f（x）=1的解；

(II)①證明ln（ab）=0即可；②令，（b∈（1，+∞）），證明（b）

在（1，+∞）上為增函數，即可證明結論；

(III)令h（b）=，因為h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出結論．

(I)由，得所以或。

(II)證明：①因為，且，可判斷，

所以，即即，則

②由①得令，（）

任取且

因為

===

，

在上為增函數，

，.

(III)證明：

，得又

令 ，因為

根據函數零點的判斷條件可知，函數在（3,4）內一定存在零點，

即存在使