【題目】已知函數
.
（1）若
在
是單調函數，求
的值；
（2）若對
，
恒成立，求
的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求出函數
的導數
，并求出方程
的兩根
，
，然后分、
、
三種情況討論，分析在區間
的符號，結合題意可得出實數
的值；
（2）分、
、
和四種情況討論，分析函數在區間
上的單調性，得出
在
上恒成立的等價條件為
，然后在平面直角坐標系
內作出可行域，利用平移直線的方法求出
的取值范圍.
（1）
，
，
令，解得，．
①當時，
，函數在
上單調遞增，在上也單調遞增；
②當時，函數在
上單調遞增，在
上單調遞減，
則函數在上不是單調函數，不符合題目要求；
③當時，函數在
上單調遞減，在
上單調遞增，
則函數在上不是單調函數，不符合題目要求；
綜上所述，；
（2）以導函數
的兩個零點為界點討論：
①當時，
在上單調遞增，在上恒成立
；
②當時，
，函數在
上單調遞減．在
上單調遞增，在上恒成立；
③當時，
，函數在上單調遞增，
則函數在上單調遞減，在上恒成立；
④當時，函數在
上單調遞增，
則函數在上單調遞增，在上恒成立；
綜合①②③④，在上恒成立
.
在平面直角坐標系中作出不等式組
表示的平面區域（可行域）如下圖：
設
，
則
，當直線經過點
時，截距
最大，此時
最大值，由
解得最優解
，則
.
當直線向
軸負方向無限平移時，截距
，此時
．
所以，的取值范圍是.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，橢圓
：
的離心率為
，圓上任意一點
處的切線交橢圓于兩點
，
，當恰好位于
軸上時，
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四邊形
為直角梯形，
，
，
，
，
為
中點，
，
與
交于點
，沿將四邊形
折起，連接
．
（1）求證：
平面
;
（2）若平面
平面．
（I）求二面角
的平面角的大小；
（II）線段
上是否存在點
，使
平面，若存在，求出
的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中學校決定開展“數學知識競賽”活動。各班級都進行了選拔，高三一班全體同學都參加了考試，將他們的分數進行統計，并作出如右圖的頻率分布直方圖和分數的莖葉圖（其中，莖葉圖中僅列出了得分在
的數據）
（1）求高三一班學生的總數和頻率分布直方圖中a、b的值；
（2）在高三一班學生中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生參加學校“數學知識競賽”，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
、
、
，且
都有
，滿足
的實數
有且只有
個，給出下述四個結論：
①滿足題目條件的實數有且只有
個；②滿足題目條件的實數有且只有個；
③
在
上單調遞增；④
的取值范圍是
．
其中所有正確結論的編號是（ ）
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
的定義域為
，若滿足條件：存在
，使在
上的值域為
，則稱為“倍縮函數”．若函數
為“倍縮函數”，則實數
的取值范圍是
A. （﹣∞，ln2﹣1） B. （﹣∞，ln2﹣1]
C. （1﹣ln2，+∞） D. [1﹣ln2，+∞）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為
萬元時，銷售量
萬件滿足
（其中
， 
為正常數），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品
萬件還需投入成本
萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為
萬元/萬件.
（1）將該產品的利潤
萬元表示為促銷費用
萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，底面
是邊長為 2 的正三角形，頂點 
在底面
上的射影為
的中心，若
為
的中點，且直線
與底面
所成角的正切值為
，則三棱錐
外接球的表面積為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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