Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點F的位置，且∠FEB＝60°.

（1）求證：平面BFC⊥平面BCDE；

（2）若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）首先通過證明平面證得.結合余弦定理和勾股定理證得，由此證得平面，進而證得平面平面.

（2）建立空間直角坐標系，由直線與平面所成角的正切值求得正弦值，結合直線的方向向量和平面的法向量列方程，解方程求得的長.由此通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得其正弦值.

（1）證明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，

∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，

∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，

∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF，

∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，

由①②得BF⊥平面BCDE，

∴平面BFC⊥平面BCDE.

（2）解：以B為原點，BA為x軸，在平面ABCD中過點B作AB的垂線為y軸，BF為z軸，建立空間直角坐標系，

設DE＝a，則D（1，a，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），

∵直線DF與平面BCDE所成角的正切值為，

∴直線DF與平面BCDE所成角的正弦值為，

平面BCDE的法向量（0，0，1），

∴|cos|，解得a＝2，

∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），

設平面EDF的法向量（x，y，z），

則，取z＝1，得（），

同理得平面DFC的一個法向量（0，，2），

∴cos，

∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值為sin.