Question

【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用點(diǎn)在橢圓上，列出方程，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知，a=2b.

又橢圓過點(diǎn)，故，解得.

所以橢圓E的方程是.

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為， ，

由方程組得，①

方程①的判別式為，由，即，解得.

由①得.

所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，

由方程組得.

所以.

又

.

所以.