Question

【題目】已知常數(shù)，數(shù)列滿足，.

(1)若，，求的值；

(2)在(1)的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)若數(shù)列中存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果；

（2）由（1）得到，，當(dāng)時(shí)，，從而，得出，由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果；

（3）先由，得到數(shù)列是遞增數(shù)列，分，，三種情況，利用放縮法，以及等差中項(xiàng)的概念，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，，

所以，

因此，，

；

（2）因?yàn)?/span>，，

所以，當(dāng)時(shí)，，從而，

于是有：；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以，即，；

（3）因?yàn)?/span>，

所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列，

①當(dāng)時(shí)，有，于是有，

從而，

所以，

若數(shù)列中存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列，

則有，即，

因?yàn)?/span>，所以，

所以不成立，因此此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列；

②當(dāng)時(shí)，有，

此時(shí)，

于是當(dāng)時(shí)，，從而，

所以，

若數(shù)列中存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列，

則有，同①可知：，于是有，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>是整數(shù)，所以，

于是，即與矛盾，

故此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列；

③當(dāng)時(shí)，有，，

于是，

，

此時(shí)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，(且)依次成等差數(shù)列，

綜上，.