Question

【題目】已知函數f（x）=ln ．
（1）求函數f（x）的定義域，并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）對于x∈[2，6]，f（x）＞ln 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）=ln ，

∴ ＞0，

解得：x＞1或x＜﹣1，

函數f（x）的定義域為{x|x＞1或x＜﹣1}．

f（x）=ln ，

那么：f（﹣x）=ln =ln（ ）=ln =﹣ln =﹣f（x）

故函數f（x）是奇函數

（2）

解：由題意：x∈[2，6]，

∴（x﹣1）（7﹣x）＞0，

∵ ＞0，可得：m＞0．

即：ln ＞ln 恒成立，

整理：ln ﹣ln ＞0，

化簡：ln ＞0，

可得： ＞1，

（x+1）（7﹣x）﹣m＞0，即：﹣x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于﹣x2+6x+7的最小值．

令：y=﹣x2+6x+7=﹣（x﹣3）2+16

開口向下，x∈[2，6]，

當x=6時，y取得最小值，即 ，

所以：實數m的取值范圍（0，7）

【解析】（1）對數函數的指數大于0，從而求解定義域．根據函數的奇偶性進行判斷即可．（2）利用對數函數的性質化簡不等式，轉化為二次函數的問題求解m的取值范圍．
【考點精析】掌握對數函數的單調性與特殊點是解答本題的根本，需要知道過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數．