Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的短軸一個端點到右焦點F的距離為2，且過點 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N為橢圓C上不同的兩點，A，B分別為橢圓C上的左右頂點，直線MN既不平行與坐標軸，也不過橢圓C的右焦點F，若∠AFM=∠BFN，求證：直線MN過定點．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：短軸一個端點到右焦點F的距離為2，則a=2，

將 代入橢圓方程可得 ，解得：b2=1，

∴橢圓的標準方程：

（2）

證明：由（1）可知：F（ ，0），

設直線MN的方程y=k1x+m，（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

則 ，整理得：（1+2k12）x2+8k1mx+4m2﹣4=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由∠AFM=∠BFN，則kFM+kFN=0， + =0，

（k1x1+m）（x2﹣ ）+（k1x2+m）（x1﹣ ）=0，

整理得：2k1x1x2﹣（m﹣ k1）（x1+x2）﹣2 m=0，

則2k1× ﹣（m﹣ k1）（﹣ ）﹣2 m=0，

解得：m=﹣ k1，

∴直線MN的方程為y=k1（x﹣ ），

則直線MN過定點（ ，0）

【解析】（1）由題意可知：a=2，將點代入橢圓方程，即可求得b的值，即可求得橢圓方程；（2）設直線MN的方程y=k1x+m，代入橢圓方程，由韋達定理，及kFM+kFN=0，即可求得m=﹣ k1 ， 直線MN的方程為y=k1（x﹣ ），則直線MN過定點（ ，0）．