Question

【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當(dāng)鱉膈體積最大時(shí),求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)按照題目定義，只要證明面即可，而由，即可證出面；

(2)先根據(jù)基本不等式求出當(dāng)時(shí)，鱉膈體積最大，然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可求出銳二面角的余弦值．

(1)∵底面，面

∴

又，

∴面，

又四邊形為矩形

∴四棱錐為陽馬．

(2)∵，，∴

又∵底面，

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值

∵，底面

∴以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

，，

，，

設(shè)面的一個(gè)法向量

由得

同理得

∴

二面角的余弦值為．