Question

【題目】已知橢圓上一點關于原點的對稱點為，點， 的面積為，直線過上的點.

（1）求的方程；

（2）設為的短軸端點，直線過點交于，證明：四邊形的兩條對角線的交點在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據已知可得，根據橢圓的對稱性結合的面積為，求出點的橫坐標，利用三點共線，求出點的縱坐標，將點坐標代入橢圓方程，即可求解.

（2）設，得出直線方程，聯立求出交點坐標，要證明交點在定直線上，尋求關系，設出直線方程，與橢圓方程聯立，消元得到的方程，得到關系，代入交點坐標，化簡即可證明結論.

（1）設坐標原點為，.

由題意得，，

又，且直線過上的點，所以.

又三點共線，所以，即，故.

又直線過上的點，所以，

即橢圓，將代入橢圓，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意，直線斜率必存在，設其方程為，

設，，則，，，，

聯立得，

所以，解得，

，，所以，

不妨設，，

所以直線方程為，直線方程為，

聯立整理，

解得

，

所以，四邊形的兩條對角線的交點在定直線上.