Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的單調區間；

（2）若函數在區間上無零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）

【解析】

（1）當時，，令，求出不等式解集，可得單調遞增區間，令，求出不等式解集，可得單調遞減區間，即可得解；

（2）函數在區間上無零點，可轉化為在區間上恒成立或恒成立，分和兩種情況討論，時，通過放縮法說明在區間上恒成立，時，取特殊值，利用零點存在性定理說明在區間上有零點，由此即可得的最小值.

解：（1）當時，，定義域為，

則，

令，得，令，得

的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）函數在區間上無零點，

在區間上，恒成立或恒成立，

，

，

①當時，，

在區間上，，

記，

則，

在區間上，，

在區間上，單調遞減，

，即，

，

即在區間上恒成立，滿足題意；

②當時，，，

，

，，

，

在上有零點，即函數在區間上有零點，不符合題意.

綜上所述，，此時，函數在區間上無零點，

的最小值為.