Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過點(diǎn)做直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，三角形的垂心為點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）求證：點(diǎn)在一條定直線上，并求出這條直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，得到圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，即可求得圓心的軌跡方程；

（2）設(shè)，由三點(diǎn)共線，求得的值，再求得過點(diǎn)與直線垂直和點(diǎn)與直線垂直的直線方程，聯(lián)立方程組，求得，即可得到結(jié)論.

（1）圓經(jīng)過點(diǎn)與直線相切，

則圓心滿足到點(diǎn)與到直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義，可得圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，

其中，所以圓心的軌跡方程為.

（2）設(shè)，，

由三點(diǎn)共線，則，整理得，

過點(diǎn)與直線垂直的直線為，

同理過點(diǎn)與直線垂直的直線為，

兩條垂線聯(lián)立方程組 ，解得，

所以垂心在直線.