Question

設數列{a_n}是公差為d的等差數列，其前n項和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求當n∈N^*時，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）當n∈N^*時，求證：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在實數a₁，使得對任意正整數n，關于m的不等式a_m≥n的最小正整數解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）（ⅰ）先利用等差數列的求和公式得出Sn，再結合基本不等式求得

Sn+64

n

的最小值即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知S_n=n²，當n∈N^*時，由于

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]利用裂項求和的方法化簡所證不等式的左邊，最后進行放縮即得所要證不等式．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即存在實數a₁，使得對任意正整數n，關于m的不等式a_m≥n的最小正整數解為3n-2，再利用不等關系求得d和實數a₁的范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）（ⅰ）解：∵a₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16，
當且僅當n=

64

n

，即n=8時，上式取等號．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知S_n=n²，當n∈N^*時，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假設對?n∈N^*，關于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數解為c_n=3n-2，
當n=1時，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當n≥2時，恒有

a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
從而

3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
當d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

時，對?n∈N^*，且n≥2時，當正整數m＜c_n時，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在這樣的實數a₁符合題意且a₁的取值范圍是[1，

4

3

)．

點評：此題是個難題．考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，及數列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（2）的設置，數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．