Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)的圖像與軸無(wú)交點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若方程在區(qū)間上存在實(shí)根，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)若對(duì)任意的，總存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）函數(shù)與軸無(wú)交點(diǎn)，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則需滿足；（3）根據(jù)題意可知，函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集，對(duì)于函數(shù)，可分討論函數(shù)的值域，利用子集關(guān)系列不等式求的范圍.

（1）若函數(shù)的圖象與軸無(wú)關(guān)點(diǎn)，則方程的根的判別式，即，解得.

故的取值范圍為.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，

所以在上是減函數(shù).

又在上存在零點(diǎn)，所以，即，解得.

故的取值范圍為.

（3）若對(duì)任意的，總存在，使得，則函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，所以在上的函數(shù)值的取值集合為.

①當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

②當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?/span>，只需，解得.

③當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?/span>，只需，解得.

綜上，的取值范圍為或.