Question

【題目】已知函數.

（1）若是函數的極值點，求a的值；

（2）令，若對任意，有恒成立，求a的取值范圍；

（3）設m，n為實數，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）先求出，令后可得的值，注意檢驗.

（2）參變分離后可得對任意的恒成立，利用導數可得的最小值，從而可得的取值范圍.

（3）原不等式等價于且，可通過構建新函數及，再利用導數可證當時，，從而可得原不等式成立.

（1），

因為是函數的極值點，故即，

又當時，，

當時，，當時，，

故是函數的極小值點，

綜上，.

（2），故對任意的恒成立等價于：

對任意的恒成立.

令，，

則，

令，則，

當時，，故為上的單調增函數，

所以，

故時，，故為上的單調增函數，

所以，故.

（3）要證，因為，

故即證且，

即證且.

令，，則.

因為，，所以即，

所以為上的增函數，故當時，有.

令，則，故即.

令，，

則，故，

當時，，故為上的增函數，故當時，有，

所以為上的增函數，故當時，有，

令，則有，

也就是.

綜上，原不等式恒成立.