Question

已知一個幾何體的主視圖及側視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，則此幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A、

  32π

  27

• B、

  64π

  9

• C、

  32 3 π

  27

• D、

  16π

  3

Answer 1

分析：由三視圖及題設條件知，此幾何體為一個圓錐，其高已知，底面是直徑為2的圓，側面母線長為2，此幾何體的外接球球心在其軸截面上，即主視圖是外接球的大圓的內接三角形，由此球的半徑易求．

解答：解：由題設，此幾何體是一個圓錐，其外接球的一個大圓正好是其主視圖的外圓
幾何體的主視圖是邊長為2的正三角形，故球心即三角形的重心
由于此正三角形的高為

3

，故此球的半徑為

2 3

3

所以此幾何體的外接球的表面積是4×π×(

2 3

3

)2=

16π

3

故選D．

點評：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，本題求的是圓錐個接球的體積．三視圖的投影規則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”．三視圖是高考的新增考點，不時出現在高考試題中，應予以重視．