Question

（2012•北京模擬）甲、乙、丙、丁四個人進行傳球練習，每次球從一個人的手中傳入其余三個人中的任意一個人的手中．如果由甲開始作第1次傳球，經過n次傳球后，球仍在甲手中的所有不同的傳球種數共有a_n種．
（如，第一次傳球模型分析得a₁=0．）
（1）求 a₂，a₃的值；
（2）寫出 a_n+1與 a_n的關系式（不必證明），并求 a_n=f（n）的解析式；
（3）求 

an

an+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過畫圖，作出符合題意的示意圖，加以總結即可得到 a₂，a₃的值；
（2）計算前幾項，可發現規律：a_n+1+an=3n（n=1，2，3，…）．利用待定系數法，得到數列 {an-

1

4

×3n}是首項為-

3

4

，公比為-1的等比數列．最后借助于等比數列的通項公式，即可算出 a_n=f（n）的解析式；
（3）分n為偶數和n為奇數兩種情況，討論

an

an+1

的單調性并結合不等式的性質進行推理，即可得到當n=2時，

a2

a3

=

1

2

為 

an

an+1

的最大值．

解答：解：（1）可畫出示意圖：

可得經過兩次傳球回到甲手中的所有不同種數為3；經過3次傳球回到甲手中的所有不同種數為6．
因此可得：得 a₂=3，a₃=6．
（2）依題意有  a₁=0，且 a_n+1+an=3n（n=1，2，3，…）．
將 a_n+1+an=3n變形為 an+1-

1

4

×3n+1=-(an-

1

4

×3n)，
從而數列 {an-

1

4

×3n}是首項為a1-

3

4

=-

3

4

，公比為-1的等比數列．
∴an-

1

4

×3n=-

3

4

×(-1)n-1，可得 an=

3n

4

+(-1)n•

3

4

（n=1，2，3，…）．
（3）①當n是偶數時，

an

an+1

  =  

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

  =  

3n+3

3n+1-3

  =  

1

3

+

4

3n+1-3

，為關于n的單調遞減函數
∴當n是偶數時，

an

an+1

隨n的增大而減小，從而，當n是偶數時，

an

an+1

的最大值是 

a2

a3

=

1

2

．
②當n是奇數時，

an

an+1

  =  

3n 4 - 3 4

3n+1 4 + 3 4

  =  

3n-3

3n+1+3

  =  

1

3

-

4

3n+1+3

，為關于n的單調增減函數
∴當n是奇數時，

an

an+1

隨n的增大而增大，且 

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

．
綜上，

an

an+1

的最大值是 

1

2

．

點評：本題考查了函數的單調性、指數函數的單調性、函數模型（指數函數）的應用、等比數列的概念、等比數列的通項公式，以及用等比數列知識解決相應的問題等知識點，屬于中檔題．