Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，為的中點.

（1）求證：面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質得到，由勾股定理逆定理得，由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）建立空間直角坐標系，分別求出面與面的法向量，利用向量的夾角公式計算法向量夾角，從而可得二面角的平面角的正弦值.

解：（1）連接，設，則，

，為的中點

，

，為的中點

，，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面.

（2）由（1）知，，，，即，，兩兩垂直，

如圖，以為原點，以，，所在射線為，，軸正半軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

∴，.

設平面的法向量為，

則，即，

，

取，則，，

，

，，，平面，平面，

面，

可取向量為平面的法向量，

，

二面角的平面角的正弦值為.