Question

【題目】已知a≥3，函數F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（1）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍
（2）（1）求F（x）的最小值m（a）
（3）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

Answer 1

【答案】
（1）

由a≥3，故x≤1時，

x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；

當x＞1時，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），

則等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍是（2，2a）

（2）

（1）設f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，

則f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．

由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+ （負的舍去），

由F（x）的定義可得m（a）=min{f（1），g（a）}，

即m（a）=

（3）

當0≤x≤2時，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；

當2＜x≤6時，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}

=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．

則M（a）=

【解析】（1）由a≥3，討論x≤1時，x＞1，去掉絕對值，化簡x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判斷符號，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍；（2）（1）設f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定義，可得F（x）的最小值；（2）分別對當0≤x≤2時，當2＜x≤6時，討論F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．本題考查新定義的理解和運用，考查分類討論的思想方法，以及二次函數的最值的求法，不等式的性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．