Question

【題目】如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝.

(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A－BE－P的大�。�

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）60°

【解析】試題分析：（I）連接BD，由已知中四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，我們可得BE⊥AB，PA⊥BE，由線面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；

（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，進而PB⊥BE，可得∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小．

證明：（I）如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，

又因為PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，

所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．

在Rt△PAB中，．．

故二面角A﹣BE﹣P的大小為60°．