Question

【題目】杭州西溪國家濕地公園是以水為主題的公園，以濕地良好生態環境和多樣化濕地景觀資源為基礎的生態型主題公園.欲在該公園內搭建一個平面凸四邊形的休閑觀光及科普宣教的平臺，如圖所示，其中百米，百米，為正三角形.建成后將作為人們旅游觀光休閑娛樂的區域，將作為科普宣教濕地功能利用弘揚濕地文化的區域.

（1）當時，求旅游觀光休閑娛樂的區域的面積；

（2）求旅游觀光休閑娛樂的區域的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）通過余弦定理可求得,進而得到,,,根據直角三角形的面積公式即可求得結果.

（2）方法一:設,由余弦定理可求得,設，進而由余弦定理可得,則可求的值, 進而可得的值,根據面積公式化簡可得,令，則面積可化簡為,令,平方后化簡為由的存在性可知即可求得,進而得出結果.

方法二: 不妨設，,由正余弦定理可得,

,

利用面積公式及輔助角公式化簡根據三角函數性質即可得出結果.

方法三:設，,由余弦定理可知

,為正三角形及由正弦定理得可得，由代入化簡可得根據面積公式及輔助角公式化簡可得,由三角函數性質即可得出結果.

法一：（1）∵，∴

∴，∴，

∵為正，∴，

∴，∴

（2）設，∴

∴，∴

設，∴，，

∴

∴

∴

令，∴上式

令，∴

∴，

∴

法二：（1），∴

又，∴，∴

（2）不妨設，

于是①

②

③

∴

當且僅當時，∴面積最大為

法三：（1）由中，，，

則由余弦定理c，∴

又為正三角形，∴

∴

（2）在中，設∠，

由余弦定理得

∵為正三角形，∴

由正弦定理得，即

∴，∴(*)

∵

又由，∴，∴為銳角，∴(**)

∴

(由*和**)

∴當，即當時，取得最大值.

∴面積最大值為.