Question

設函數f（x）=x²+x-

1

4

．
（1）若函數的定義域為[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定義域為[a，a+1]時，f（x）的值域是[-

1

2

，

1

16

]，求a的值．

Answer 1

分析：本題考查二次函數的值域問題，第（1）小問考查的是定軸定區間的值域問題，比較容易，第（2）小問是值域逆向問題，由于區間含有參數a，所以需要對函數的對稱軸與區間的位置關系進行討論，有時還需要考慮區間的中點與對稱軸的位置關系．

解答：解：（1）∵f（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

，
∴對稱軸為x=-

1

2

．∵-

1

2

＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即[-

1

4

，

47

4

]．
（2）∵f（x）的最小值為-

1

2

，
∴對稱軸x=-

1

2

∈[a，a+1]．
∴

a≤ - 1 2 a+1≥- 1 2

解得-

3

2

≤a≤-

1

2

．
∵區間[a，a+1]的中點為x₀=a+

1

2

，
當a+

1

2

≥-

1

2

，即-1≤a≤-

1

2

時，
f（x）最大值為f（a+1）=

1

16

．
∴（a+1）²+（a+1）-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+48a+27=0．
∴a=-

3

4

(a=-

9

4

舍去)．
當a+

1

2

＜-

1

2

，即-

3

2

≤a＜-1時，
f（x）最大值為f（a）=

1

16

，
∴a²+a-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+16a-5=0．
∴a=-

5

4

(a=

1

4

舍去)．
綜上知a=-

3

4

或a=-

5

4

．

點評：本題涉及的主要數學思想是分類討論的思想，對于分類討論的題目，我們要弄清楚分類的標準，做到不重復不漏掉；