Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，左、右焦點分別為、，為橢圓的下頂點，交橢圓于另一點、的面積.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于、兩點，點關于軸的對稱點為，問：直線是否過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點

【解析】

（1）根據橢圓離心率的公式和橢圓中的關系，可以判斷出的形狀，最后結合橢圓的定義和三角形的面積公式進行求解即可；

（2）設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，利用根與系數關系，三點共線進行求解即可.

（1）由橢圓的離心率，則，，，

∴是等腰直角三角形，

又，

在中，，即.

解得，，，

∴的面積為，，，

∴橢圓方程為.

（2）設，，則，

設直線與軸交于點，直線的方程為（），

由有，

，，

，，

由、、三點共線，，即，

將，代入整理得，

即，

從而，即，解得，此時滿足.

則直線的方程為，故直線過定點.

（其他解法正確同樣給分）