【題目】在平面直角坐標系
中，
、
分別為橢圓
的左、右焦點.設不經過焦點的直線
與橢圓交于兩個不同的點
、
，焦點到直線的距離為
.若直線
、、
的斜率依次成等差數列，求的取值范圍.
【答案】
【解析】
設直線
，點
，
，聯立直線和橢圓的方程，得到韋達定理，根據直線
、
、
的斜率依次成等差數列得到
，代入
得
，
求出d=
,再求函數d(k)的取值范圍得解.
由條件，知點
、
.
設直線，點，.
則
、
滿足
，即
. ①
由于點
與
不重合，且直線的斜率存在，故、為方程①的兩個不同實根.
因此，式①的判別式
. ②
由直線、、的斜率
、
、
依次成等差數列，知
.
假設
.則直線的方程為
，即經過點，不符合條件.
因此，
.
故由方程①及韋達定理知
. ③
由式②、③知
.
反之，當
、滿足式③及時，直線必不過點
（否則，將導致，與式③矛盾）.
而此時、滿足式②，故直線與橢圓有兩個不同的交點、，同時，也保證了、的斜率存在（否則，、中的某一個為
，結合，知
，與方程①有兩個不同的實根矛盾）.
又點到的距離為
. ④
注意到，.
令
.則
.
故式④可改寫為
. ⑤
考慮到函數
在區間
上單調遞減，故由式⑤得
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
,
且
.
（1）若函數
在
上恒有意義，求
的取值范圍；
（2）是否存在實數，使函數在區間
上為增函數，且最大值為
？若存在求出的值，若不存在請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點．
（1）試求雙曲線的標準方程；
（2）記雙曲線的左、右焦點為F1、F2，試在“8”字形曲線上求點P，使得∠F1PF2是直角．
（3）過點A作直線l分別交“8”字形曲線中上、下兩個半圓于點M、N，求|MN|的最大長度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點．求證：
（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中x＞0，k為常數，e為自然對數的底數．
（1）當k≤0時，求
的單調區間；
（2）若函數在區間(1，3)上存在兩個極值點，求實數k的取值范圍；
（3）證明：對任意給定的實數k，存在
(
)，使得在區間(，
)上單調遞增．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足為M，以下四個結論中正確的個數為（ ）
①AM垂直于平面CB1D1；
②直線AM與BB1所成的角為45°；
③AM的延長線過點C1；
④直線AM與平面A1B1C1D1所成的角為60°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】8個女孩和25個男孩圍成一圈，任何兩個女孩之間至少站兩個男孩，則共有__________________種不同的排列方法.（只要把圈旋轉一下就重合的排法認為是相同的）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩點
、
，動點
滿足
，記
的軌跡為曲線
，直線
（
）交曲線于
、
兩點，點在第一象限，
軸，垂足為
，連結
并延長交曲線于點
.
（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；
（2）若
，求△
的面積；
（3）證明：△為直角三角形.
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