Question

現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為

1

6

、

1

2

、

1

3

；已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關，在每次調整中價格下降的概率都是P（0＜P＜1），設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整，記乙項目產品價格在一年內的下降次數為ζ，對乙項目每投資十萬元，ξ取0、1、2時，一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機變量ξ₁、ξ₂分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤．
（I）求ξ₁、ξ₂的概率分布和數學期望Eξ₁、Eξ₂；
（II）當Eξ₁＜Eξ₂時，求P的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意寫出變量ξ₁概率分布，表示出期望，根據條件可以看出變量ξ₂符合二項分布，根據二項分布的概率寫出分布列，算出期望．
（2）根據上一問做出的期望，由Eξ₁＜Eξ₂寫出概率P滿足的不等關系，整理后變化為一元二次不等式的解集，采用十字相乘法得到一元二次不等式的解集，注意概率本身的限制條件．

解答：解：（I）由題意知ξ₁概率分布為

Eξ₁=1.2×

1

6

+1.18×

1

2

+1.17×

1

3

=1.18．
由題設得ξ₂～B（2，P），則ξ₂的概率分布為

∴ξ₂的數學期望為
Eξ₂=1.3×（1-P）²+1.25×2P（1-P）+0.2×P²=-P²-0.1P+1.3
（II）由Eξ₁＜Eξ₂，得：
-P²-0.1P+1.3＞1.18
∴（P+0.4）（P-0.3）＜0，
∴-0.4＜P＜0.3
∵0＜p＜1，
∴Eξ₁＜Eξ₂時，p的取值范圍是0＜p＜0.3．

點評：本小題考查二項分布、分布列、數學期望、方差等基礎知識，考查同學們運用概率知識解決實際問題的能力．是一個大型的綜合題，可以處在高考題目中．