Question

【題目】設D是圓O：x2+y2＝16上的任意一點，m是過點D且與x軸垂直的直線，E是直線m與x軸的交點，點Q在直線m上，且滿足2|EQ||ED|．當點D在圓O上運動時，記點Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程．

（2）已知點P（2，3），過F（2，0）的直線l交曲線C于A，B兩點，交直線x＝8于點M．判定直線PA，PM，PB的斜率是否依次構成等差數列？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，（2）成等差數列

【解析】

（1）由題意設Q（x，y），D（x0，y0），根據2|EQ||ED|Q在直線m上，則橢圓的方程即可得到；

（2）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立，利用根與系數的關系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2說明直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

解：（1）設Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ||ED|，Q在直線m上，

∴x0＝x，|y0|＝|y|．①

∵點D在圓x2+y2＝16上運動，

∴x02+y02＝16，

將①式代入②式即得曲線C的方程為x2y2＝16，即1，

（2）直線PA，PM，PB的斜率成等差數列，證明如下：

由（1）知橢圓C：3x2+4y2＝48，

直線l的方程為y＝k（x﹣2），

代入橢圓方程并整理，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），直線PA，PM，PB的斜率分別為k1，k2，k3，

則有x1+x2，x1x2，

可知M的坐標為（8，6k）．

∴k1+k3

＝2k﹣32k﹣32k﹣1，

2k2＝22k﹣1．

∴k1+k3＝2k2．

故直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．