Question

下列4個命題：
①函數y=sinx在第一象限是增函數；
②函數y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π
③函數y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱；
④對于任意實數x有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時f′（x）＞g′（x）
其中正確命題的序號是

③④

．（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：利用正弦函數的單調性判斷①的正誤；通過函數的周期判斷②的正誤；利用函數的對稱性判斷③的正誤；根據函數的單調性與其導函數的正負的關系，同時注意到奇（偶）函數在對稱的區間上單調性相同（反），判斷④的正誤．

解答：解：對于①“函數y=sinx在第一象限是增函數”是假命題，比方說A=30°、B=390°，它們的終邊相同，雖然A＜B，但有sinA=sinB，說明函數f（x）=sinx在第一象限不是增函數，①不正確
對于②，函數y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π，因為y=cosx+

1

2

的周期是2π，所以y=|cosx+

1

2

|的周期也是2π，可以通過圖象看出，所以②不正確．
對于③，函數y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），即f（1+x）=f（1-x），則f（x）的圖象自身關于直線x=1對稱；正確．
對于④，根據題意，f（x）是奇函數，g（x）是偶函數；又由奇函數在定義域內單調性相同，偶函數單調性相反，所以x＜0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正確；
故答案為：③④

點評：本題考查三角函數的單調性，周期，函數的對稱性與奇偶性，利用導數判斷函數的單調性，考查基本知識的應用．