Question

已知函數f(x)=Acos (2ωx+2?)+2(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)的最大值為3，f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2，在y軸上的截距為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設數列a_n=f（n），S_n為其前n項和，求S₁₀₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由f（x）的最大值求A，再由相鄰兩對稱軸間的距離求T，進而求ω，最后根據特殊點（0，2）求φ，則問題解決；
（Ⅱ）先求數列的通項a_n，再根據正弦的特點分組求和，則問題解決．

解答：解：（Ⅰ）依題意A+2=3，∴A=1．
又

T

2

=2，得T=4，∴

2π

2ω

=4ω=

π

4

∴f(x)=cos(

π

2

x+2?)+2．
令x=0，得cos2?+2=2，又0＜?＜

π

2

∴2?=

π

2

，
所以函數f（x）的解析式為f(x)=2-sin(

π

2

x)．
（Ⅱ）由f(x)=2-sin(

π

2

x)知an=f(n)=2-sin(

π

2

n)，
則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=…=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=8，
∴S₁₀₀=8×25=200．

點評：本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）+B的部分圖象信息求其解析式的基本方法，同時進一步考查正弦函數的周期性．