Question

已知的導函數，且，設，

且．

（Ⅰ）討論在區間上的單調性；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

減 ， 和增 ；（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用 的導函數找到原函數即可研究 的單調性, （Ⅱ）把證明不等式轉化為證明不等式 ,然后通過求導研究函數的值域, （Ⅲ）難點①轉化，②注意運用第（Ⅱ）問產生的新結論.導致③放縮后進行數列求和.

試題解析：（Ⅰ）由 且 得. 定義域為 

 

令 ,得 或  

當 時,由,得 ;由 ,得,或

 在 上單調遞減,在 和 上單調遞增.

當 時, 由,得 ;由 ,得,

 在 上單調遞減,在上單調遞增.

（Ⅱ）設 ,令 ,得, ,得,

 在 上單調遞減,在上單調遞增.

 在 處有極大值,即最大值0, 同理可證 , 即 

（Ⅲ）由（2）知，

又

即當時取等號.

考點：導數運算及運用導數研究函數的性質,數列求和及不等式中的放縮法的運用.