Question

【題目】如圖，是南北方向的一條公路，是北偏東方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線(xiàn)．為方便游客光，擬過(guò)曲線(xiàn)上的某點(diǎn)分別修建與公路，垂直的兩條道路，，且，的造價(jià)分別為5萬(wàn)元百米，40萬(wàn)元百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)符合函數(shù)模型，設(shè)，修建兩條道路，的總造價(jià)為萬(wàn)元，題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米．

（1）求解析式；

（2）當(dāng)為多少時(shí)，總造價(jià)最低？并求出最低造價(jià)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為30萬(wàn)元．

【解析】

（1）求出的坐標(biāo)，直線(xiàn)的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可求解析式；

（2）利用導(dǎo)數(shù)的方法最低造價(jià)．

解：（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，因?yàn)榍�線(xiàn)的方程為，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，

直線(xiàn)的方程為，

則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

又的造價(jià)為5萬(wàn)元百米，的造價(jià)為40萬(wàn)元百米．

則兩條道路總造價(jià)為．

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

令，得，列表如下：

		4
		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為．

答：（1）兩條道路，總造價(jià)為；

（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為30萬(wàn)元．