Question

【題目】已知函數（其中為常數且）在處取得極值.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若在上的最大值為1，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．

(2) 或.

【解析】試題分析：（1）由函數的解析式,可求出函數導函數的解析式,進而根據是的一個極值點,可構造關于的方程,根據,求出值；可得函數導函數的解析式，分析導函數值大于和小于時，的范圍，可得函數的單調區間；（2）對函數求導，寫出函數的導函數等于的的值，列表表示出在各個區間上的導函數和函數的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關于的方程求得結果.

試題解析：(1)因為，

所以.

因為函數在處取得極值，

所以.

當時，，，

隨的變化情況如下表：

所以的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為．

(2)，

令，解得.

因為在處取得極值，所.

當時，在上單調遞增，在上單調遞減．

所以在區間上的最大值為．

令，解得.

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以最大值1在或處取得．

而，

所以，解得.

當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

所以最大值1在或處取得．

而，

所以，

解得，與矛盾．

當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，所以最大值1在處取得，而，矛盾．

綜上所述，或.