Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在定義域上有兩個極值點，試問：是否存在實數(shù)，使得？

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）存在；

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合基本不等式，分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由函數(shù)在定義域上有兩個極值點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不相等實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，令，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為，

則，

因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“等號”，

所以，

當(dāng)時，在上恒成立，則此時在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，

令，解得，，

由，

而，故.

由可得或，

即此時在，上單調(diào)遞增；

由可得，

即此時在上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）因為，

由題知方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，

即方程在上有兩個不相等實數(shù)根，

因此有，解得，

這時，，

于是

.

令，解得，滿足.

所以存在實數(shù)，使得.