Question

【題目】已知數列中，.

（1）是否存在實數，使數列是等比數列？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；

（2）若是數列的前項和，求滿足的所有正整數.

Answer 1

【答案】(1) 存在實數，使數列是等比數列，過程見解析.

(2) 滿足的所有正整數為1和2.

【解析】試題分析：（1）設bn=a2n﹣λ，依題意，可得若數列{a2n﹣λ}是等比數列，則必須（常數）；（2）由（1）得{bn}是以﹣為首項，為公比的等比數列，于是a2n﹣1+a2n=，利用分組求和的方法，分別用等比數列的求和公式與等差數列的求和公式即可求得S2n，分n=1與2討論，計算即可得到答案．

詳解：

（1）設，因為

若數列是等比數列，則必須有（常數），

即，即 ，

此時

所以存在實數，使數列是等比數列.

（2）由（1）得是以為首項，為公比的等比數列

故 ，即

由，得，

所以，

顯然當時，單調遞減，

又當時，，當時，，所以當時，；

，

同理，當且僅當時，

綜上，滿足的所有正整數為1和2.