Question

試證明，對一切x∈R都有，當且僅當時等號成立．利用這個結果，求函數y =sin x＋cos x＋sinx· cos x的最大值和最小值．

 

Answer 1

答案：
解析：

要證明，只要證明：sin 2 x＋2sin x · cos x＋cos 2 x≤2， 只要證明對一切x∈R都有：2sin x · cos x≤1， 只要證明：2sin x · cos x ≤ sin 2 x＋cos 2 x， 即證明：(sin x－cos x)2 ≥0． 因為對任意x∈R，不等式(sin x－cos x)2 ≥0總成立，且上述各步都可逆，所以對一切x∈R，都有．論證中可以看出：當且僅當sin x－cos x =0，即tan x =1時，不等式中的等號成立，也就是說當且僅當時，（k∈Z），． 函數y =sin x · cos x＋sin x＋cos x中，把sin x用cos x表示或者把cos x用sin x表示都要出現根式，不便于求最大、最小值．注意到 ， 則有：． 令sin x＋cos x =t，如本題所證知：． 只要考查關于t的二次函數的最大、最小值，這個二次函數圖象是開口向上的拋物線的一段弧， ∵ ，可見： 當t =－1時，該函數有最小值－1；當時，該函數有最大值． 　　   綜上分析知： 當x =2kπ＋π或時，函數y =sin x · cos x＋sin x＋cos x有最小值－1； 當時，該函數有最大值．